虚数的定义和性质(虚数到底有什么意义)

文艺复兴时期的数学家首先提出了虚数的概念。

在丹·布朗（Dan Brown）2003年的超级畅销悬疑惊悚小说《达芬奇密码》中，书中的主人公罗伯特·兰登（Robert Langdon）和密码学家索菲·奈芙（Sophie Neveu）之间有一点巧妙地应答，她在书中表达了对“信仰中包含奇迹般的事件”的宗教信徒的价值的怀疑。她冷笑道：“看来他们的真实是假的。”

兰登笑着说：“这些想法就像数学密码学家相信虚数‘i’能帮助他们破解密码一样。”

对于我们这些不懂数学的人来说，兰登的笑话有点令人费解。当他说一个数是虚数时，他到底在说什么？这怎么可能呢？

虚数的诞生

然而事实证明，虚数基本上是一个数，平方后会得到负数。确实是数学中的一种东西，最早是在15世纪和16世纪被发现的，用来解决某些令人困惑的方程。虽然最初被认为是一种室内把戏，但在此后的几个世纪里，它们被视为一种以复杂的方式将世界概念化的工具。如今，它们在从电子工程到量子力学等领域都很有用。

新墨西哥州独立研究机构圣达菲研究所的物理学家克里斯托弗·摩尔（Cristopher Moore）解释说：“我们发明虚数的原因和我们发明负数的原因是一样的。”他在2011年与斯蒂芬·默滕斯(Stephan Mertens)合著了《计算的本质》一书。

摩尔继续说：“从普通的算术开始，二减七等于几？如果你从没听说过负数，那就说不通了，就可能回答不上。你不能有-5个苹果，对吧？但是可以这样想，你可以欠我5个苹果，或者5美元。一旦人们开始做会计和簿记，我们就需要这个概念。”类似地，今天我们都很熟悉这样的想法：如果我们开大额支票去买东西，但没有足够的钱来支付，我们的银行账户就会出现负余额。

创造性思维大有裨益

摩尔说：“另一种看待负数的方法，这稍后会派上用场，是想象在城市附近散步。如果你从我们的目的地向相反的方向拐错了弯。比方说，向南走了5个街区，而你本来应该向北走，你就可以把它想象成向北走了5个负的街区。”

摩尔表示：“通过发明负数，它可以扩展你的数学世界，使你能够谈论以前很难的事情。”

虚数和复数，也就是包含虚数成分的数字，是这种创造性思维的另一个例子。正如摩尔解释的那样：“如果我问你，9的平方根是多少？这很简单，对吧？答案是3。尽管它也可以是- 3，因为两个负数相乘得到的结果是正的。”

但是-1的平方根是多少？有没有一个数，乘上它自己，得到-1 ？摩尔说：“在某种程度上，没有这样的数字。”

但文艺复兴时期的数学家想出了一个聪明的方法来解决这个问题。摩尔继续说：“在我们发明负数之前，没有2-7这样的式子。所以也许我们应该发明一个等于-1的平方根的数字，我们给它起个名字：i。”

一旦他们想出了虚数的概念，数学家们就会发现他们可以用它做一些很酷的事情。记住一个正数乘以一个负数等于一个负数，但是两个负数相乘等于一个正数。但是当你开始用i乘以7，然后再乘以i会发生什么？因为i乘以i是-1，答案是-7。但如果你用7乘以i乘以i乘以i乘以i，突然得到正7。摩尔指出：“它们相互抵消了。”

现在想想，你取一个虚数，多次代入方程，最后得到一个你在现实中经常用到的实数。

虚数是平面上的点

美国宾夕法尼亚州立大学的教授和数学系主任马克·列维（Mark Levi）解释道：“直到几百年后的19世纪初，数学家们才发现了另一种理解虚数的方法，即把虚数看作平面上的点。”他是2012年出版的《为什么猫能站稳脚：以及76个其他物理悖论和谜题》一书的作者。

列维说：“当我们把数字想象成直线上的点，然后加上第二个维度时，那个平面上的点就是虚数。”

他解释道：“想象一条数轴，当你考虑一个负数时，直线上距离正数是180度。两个负数相乘，把它们的角相加，180度加上180度，就得到360度。这就是为什么它是有意义的存在。”

但是你不能把-1的平方根放在X轴上，这是行不通的。但是，如果你创建了一个垂直于X的Y轴，你就有地方放它了。

当你考虑虚数时，Y轴是有用的，因为你不能把根号-1放在X轴上。

虽然虚数似乎只是一群数字，使人眼花缭乱，但它们实际上是非常有用的，对于世界上某些重要的现代技术发达的计算而言，如计算飞机机翼的气流，从阻力或找出流失能量结合在一个电力系统振荡。小说虚构人物的罗伯特·兰登提到它们也用于密码学时，他可不是在逗我们。

在洛斯阿拉莫斯国家实验室从事量子计算算法研究的物理学家罗兰多·索马(Rolando Somma)解释说：“带虚分量的复数在理论物理中也很有用。”

索马说：“由于它们与三角函数的关系，它们在描述，例如，周期函数时很有用。这些是波动方程的解，所以我们用复数来描述各种波，比如电磁波。因此，和数学一样，物理中的复杂微积分是简化计算的极其有用的工具。”

复数在量子力学中也有作用，量子力学是一种在原子和亚原子粒子尺度上描述自然行为的理论。

索马表示：“在量子力学中，‘i’明确地出现在Schrödinger的方程中。因此，复数似乎在量子力学中扮演着更基本的角色，而不仅仅是一个有用的计算工具。”

他继续说：“量子系统的状态可以用它的波函数来描述。作为薛定谔方程的解，这个波函数是某些状态的叠加，叠加中出现的数字是复杂的。例如，量子物理中的干涉现象可以很容易地用复数来描述。”