研究圆柱与圆锥的体积关系(圆柱与圆锥的体积关系)

各位网友们好，相信很多人对研究圆柱与圆锥的体积关系都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于研究圆柱与圆锥的体积关系以及圆柱与圆锥的体积关系的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！

本文目录一览

• 1、怎样证明圆柱与圆锥体积的关系?
• 2、圆柱和圆锥的关系是什么?

怎样证明圆柱与圆锥体积的关系?

设圆锥高为h,底部半径为r,把圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱.
则第n份圆柱的高为h/k,半径为n*r/k.
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+…+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+…+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大,这个总体积越接近于圆锥的体积.
当K为无穷大时,则1/k等于0.即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一.
或用微积分证明
：会问这个问题的大概肯定不会微积分,所以我说一下用祖暅原理的想法.
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体,其体积也必然相等.严格证明其实还是要用微积分,不过这个比较直观,拿来用吧.
圆锥的横截面是一个圆,用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做）,设它为r,则易见r = Rh/H.
于是看出r与高h是一次关系,故可以构造一个三棱锥,使它与圆锥等高且截面积与之相等.问题转化为求三棱锥体积.
三棱锥体积可以用割补的方法来证明,为了简单,还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥,在立方体上进行割补.就不详细写了.

圆柱和圆锥的关系是什么?

圆柱和圆锥的关系如下：

等底等高的圆柱和圆锥之间有三倍体积的关系。

一个圆柱的体积为底面积乘以高，一个圆锥的体积为三分之一底面积乘以高，当圆锥和圆柱的底和高都相等时，即两个图形的底面积和高都相等，所以等底等高的圆柱体积为三倍的圆锥体积。

圆柱的性质

（1）圆柱的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两个底面。
（2）用垂直于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是和底面相等圆。

（3）用一个过圆柱的轴的平面去截圆柱，所得截面是一个长方形，其中有两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边分别是两个底面圆的直径，如图中，ABCD是长方形，AB、CD、是母线，AD、BC分别是上下底面的直径。