在实数域定义了加法和数乘、负数、零和1，且对加法与数乘运算封闭，满足加法的交换律与结合律，数乘的分配律与结合律的实数集合是线性空间或向量空间。上述定义将之前我们所理解的向量空间拓展了，比如Asin(x
在实数域定义了加法和数乘、负数、零和1，且对加法与数乘运算封闭，满足加法的交换律与结合律，数乘的分配律与结合律的实数集合是线性空间或向量空间。
上述定义将之前我们所理解的向量空间拓展了，比如Asin(x+B)也满足上述定义，也构成线性空间，不仅仅是有序数组构成空间，函数本身也可以是空间。线性空间中最大无关向量组的个数就是空间的维数，而最大无关组就是向量空间的一个基。比如二维空间的一个基(0，1)（1，0），同理可以写出三维空间的基。
线性空间任一向量都可以由基的线性组合来表示，而这个组合的系数就是向量在基坐标。线性空间的结构由其维数决定，不同基之间保持了线性运算的对应关系，并且可以由坐标转换为实空间中的线性运算。
如果两个线性空间之间映射满足加法和数乘关系，则映射称为线性变换。如果线性变换前后对应同一个线性空间，称为线性空间的线性变换。满足线性变换映射为零的向量全体也是一个线性空间称为线性变换的核，对应齐次线性方程组的解空间。线性变换有其矩阵形式，对应于基在该变换下的像。
数学是抽象的，正因其抽象所以更容易泛化，对概念的深度理解是灵活应用的前提。
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